Lógica de Argumentação
INTRODUÇÃO
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole, matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações.
As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. A lógica matemática (ou lógica simbólica) trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer a alguns princípios fundamentais.
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS
Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra alternativa.
PROPOSIÇÃO: são sentenças declarativas afirmativas que exprimem um pensamento de sentido completo que podem ser verdadeiras ou falsas.
A lua é quadrada.
A neve é branca.
Matemática é uma ciência.
CONECTIVOS LÓGICOS E AS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Os conectivos e os modificadores são elementos aplicados a uma ou mais proposições para formar outras de maior complexidade. Uma proposição que não apresente conectivo nem modificador é dita “proposição simples” ou “atômica” e aquela que apresenta conectivo ou modificador é dita “proposição composta”. As proposições podem ser combinadas entre si. Para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos.
Proposição simples ou atômica: é uma frase declarativa que expressa um pensamento completo acerca de um objeto, isto é, possui um único objeto de estudo. Indicaremos tais proposições por letras minúsculas do nosso alfabeto.
Exemplos:
p: O México fica na América do Sul.
q: O número 16 é quadrado perfeito.
r: João é menino de rua.
Proposição composta ou molecular: é formada por duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos lógicos. Serão indicadas por letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Notação: P(p, q, r, ...) indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q, r, ...
CONECTIVOS LÓGICOS OU OPERADORES LÓGICOS: são palavras ou expressões que usamos para formar novas proposições, a partir de outras proposições.
Ù: e
Ú: ou
® : se...então
« : se, e somente se
~ ou Ø: não
Exemplos:
· João é médico e Pedro é dentista:
p Ù q (p e q são chamados conjuntos)
· Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo:
p Ú q (p e q são chamados disjuntos – disjunção inclusiva)
· Ou Luís é baiano, ou é paulista:
p Ú q (p ou q são chamados disjunção exclusiva)
· Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia:
p ® q (p é o antecedente e q o conseqüente)
· Comprarei uma mansão se, e somente se, eu ganhar na loteria: p « q
· A lua não é quadrada: ~p
OBSERVAÇÕES SOBRE AS PROPOSIÇÕES:
1. Toda proposição composta é uma proposição.
2. Se A e B são proposições então (A Ú B), (A Ù B), (A ® B), (A « B) e (~A) também são proposições.
3. São proposições apenas as obtidas por 1 e 2.
O MODIFICADOR NEGAÇÃO
Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p. (Lê-se "não p"). Ex.: p: Três pontos determinam um único plano (V) ~p: Três pontos não determinam um único plano (F) Obs.: duas negações equivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p.
Exemplo:
p: A lua é quadrada.
~p: A lua não é quadrada.
~(~p): A lua é quadrada.
~(~(~p)): A lua não é quadrada.
... e assim por diante!!!
Negação de Proposições Compostas
Negação de (p Ù q) | é | ~p Ú ~q |
Negação de (p Ú q) | é | ~p Ù ~q |
Negação de (p ® q) | é | p Ù ~q |
Negação de (p «q) | é | [(p Ù ~q) Ú (q Ù ~p)] |
Exemplos:
Proposição composta: (p Ù q):
João é médico e Pedro é dentista.
Negação: (~p Ú ~q):
João não é médico ou Pedro não é dentista.
Proposição composta: (p Ú q):
João é médico ou Pedro é dentista.
Negação: (~p Ù ~q):
João não é médico e Pedro não é dentista.
Proposição composta: (p ® q):
Se João é médico, então Pedro é dentista.
Negação: (p Ù ~q):
João é médico e Pedro não é dentista.
Proposição composta: (p « q):
João é médico se, e somente se, Pedro é dentista.
Negação: [(p Ù ~q) Ú (q Ù ~p)]
João é médico e Pedro não é dentista.
ou
Pedro é dentista e João não é médico.
