Matemática

NÚMEROS NATURAIS

Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa (objetos animais, estrelas pessoas etc) empregamos os números:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,...

Esses números são chamados de números naturais. Existem infinitos números naturais os números que aparecem juntos, como na seqüência acima são chamados números consecutivos.
Por exemplo 12 e 13 são consecutivos 13 é o sucessor (vem depois) e 12 é o antecessor (vem antes) de 13.
Lembrem-se concurseiros, conjunto dos números naturais é baseado na existência do ZERO e na propriedade que todo número tem sucessor e antecessor. Apenas o Zero não tem antecessor.

Observações:
1)  Todo número natural tem um sucessor (é o que vem depois).
2) Todo número natural tem um antecessor (é o que vem antes), com exceção do zero.
3)  Um número natural e o seu sucessor são chamados números consecutivos.

PAR OU IMPAR

Um número natural é par quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Os números pares são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...
Um número é ímpar quando termina em 1, 3, 5, 7, ou 9.
Os números ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...


NÚMEROS DE DIVISORES

Qual o numero de divisores naturais de 2⁵ x 3² x 5²?

Divisores de um número natural são todos os números naturais que ao dividirem tal número, resultarão em uma divisão exata, isto é, com resto igual a zero. O conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito, mas como determinar quantos divisores um número natural possui?

Tanto para a identificação da quantidade de divisores de um número, assim como para que possamos encontrar tais divisores, iremos recorrer à fatoração ou decomposição em fatores primos.

Tomemos como exemplo o número 200 para aprendermos a identificar quantos e quais são os seus divisores.

Vamos lá... Primeiramente iremos decompor o número 200 em fatores primos:

Número 200 decomposto em fatores primos

Temos então que 200 fatorado é igual a 2³ x 5².

200      2

100      2

  50      2

  25      5

    5      5

    1           2³ x 5²

Quantidade de Divisores de um Número Natural

O número 200 decomposto possui dois fatores primos. Um com expoente 3 ( 2³) e outro com expoente 2 (5²). A multiplicação destes expoentes adicionados em uma unidade cada um deles, irá nos fornecer a informação procurada:

(3 + 1) . (2 + 1) = 12

Portanto o número natural 200 possui um total de 12 divisores naturais.

Conjuntos Numéricos

        

Conjunto dos Números Naturais

Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja: N = {0; 1; 2; 3; …}. Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja, N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.

Observações:

1)       Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação, apenas estas são garantidas nas operações dentro do conjunto N;

2)       Isto é fato, pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;

3)       Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N. Em N a subtração não é considerada uma operação, pois se a diferente de zero pertence a N o simétrico -a não existe em N.

Conjunto dos Números Inteiros

Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:

a)    Conjunto dos inteiros não negativos:

Z₊ = {0; 1; 2; 3; …};

b)    Conjunto dos inteiros não positivos:

Z_- = {…; -3; -2; -1; 0};

c)    Conjunto dos inteiros não nulos:

Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};

d)    Conjunto dos inteiros positivos:

Z+* = {1; 2; 3; …};

e)    Conjunto dos inteiros negativos:

Z-* = {…; -3; -2; -1}.

Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.

Observações:

1)    No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;

2)    Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z;

3)    Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;

4)    Por esta razão não podemos definir divisão no conjunto dos números inteiros;

5)    Outro conceito importante que podemos extrair do conjunto Z é o de divisor. Isto é, o inteiro a é divisor do inteiro b - simbolizado por b | a - se existe um inteiro c tal que b = ca;

6)    Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;

7)    Cada ponto da reta orientada é denominado de abscissa;

8)    Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x ≥ 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| ≥ 0 para qualquer número inteiro.

A ordem dos inteiros:

Há uma classe de inteiros, chamada classe dos inteiros positivos (ou classe dos números naturais), que goza das seguintes propriedades:

ü   A soma de dois inteiros positivos é um inteiro positivo;

ü   O produto de dois inteiros positivos é um inteiro positivo;

ü   Para cada inteiro A, uma e somente uma das seguintes alternativas é verdadeira, ou A = 0, ou A é negativo, ou A é positivo (lei da tricotomia).

Definimos as relações ≥, ≤, <, > por:

A > B (A é maior do que B) se e só se A - B é positivo

A < B (A é menor do que B) se e só se B > A

A ≥ B (A é maior ou igual a B) se e só se A > B ou A = B

A ≤ B (A é menor ou igual a B) se e só se A < B ou A = B

É claro que A é positivo se e só se A > 0.